結婚前のご挨拶などに関する事、色々教えて下さい。

えっと...
年齢は58歳で間違いないのでしょうか？
お互いのご両親は健在なのですね？

まず、ご自身の実家に彼のお母様が挨拶にこられる件ですが。
こちらとしては家を貸す側なのだし、特にお土産とか考えなくていいのでは？
どうしても何か渡したければ、地域の名物とかの簡単なお土産を用意すればいいと思います。
次に、ご近所への挨拶ですが、彼氏とはいつまで実家に居候するつもりなのでしょうか？
ほんの数ヵ月とかであれば、「◯月頃まで実家にいます」と、二人で挨拶に行けば充分だと思います。もしご近所から、結婚のお祝いを頂いたら、そのときはきちんと内祝いを渡しに行ってくださいね。
最後に、ご近所の親戚ですが、どの程度のお付き合いなのでしょう？頻繁に顔を会わせていて、結婚式の話を既にしている場合は特に事前に連絡をする必要はないと思います。
あまり会わないのであれば、せっかくご近所なのだし、挨拶もかねて、二人で招待状を手渡しに行くのもいいかもしれません。

全然論点がずれてしまいますが、その年代で、お金が全然ないという彼。
結婚しても大丈夫ですか？
何故お金がないのですか？
きちんと話をしてみた方がいいと思います。

ご年齢58歳ということですと、お土産を渡す相手（彼の母親）は70～80代でしょうか。義母様は健康面での不安（糖尿病や高血圧など）はありませんか？もしかしたら糖質オフとか甘いものを控えている等あるかもしれないので、彼にどんな物を用意するのがいいか相談した方がいいと思います。ただ、義母側が挨拶に来る方なので用意する必要があるかと聞かれたら、絶対ではないと思います。「これからよろしくお願い致します。」的な意味合いでちょっとした菓子折りを用意する程度で良いのではないでしょうか。もし食べ物に制限があるようでしたら生活雑貨（タオルや洗剤などのギフト）でもいいかもしれないですね。