婚姻届提出後にすべきこと

入籍おめでとうございます。
あまり詳しくありませんが…

苗字や住所が変わらないのであれば、特段すべきことは無いような気がします。
生命保険の受取人変更の手続きをすることぐらいしか思いつきません。
（生命保険の受取人は配偶者にすることが多いです）
苗字が変わるとなると手続きは忙しいです。（運転免許証、銀行口座名義など。）

4月には転居されるのでしょうか？
もしそうなら、そのときには転居に伴う手続きをすることになりそうですね。
役所で転出＆転入手続きを済ませた後、一番初めに運転免許証の手続きをするのがスムーズだと思います。運転免許証の提示で、他の書類を省略できることもあるので。

ご入籍おめでとうございます。
入籍し、新しい戸籍ができ姓が変更される場合
法律上、新しい姓の名前しか存在しなくなり
旧姓で申請していたものはすべて新しい姓へ変更する必要があります
例えば国民年金、健康保険、賃貸契約をされている場合は、契約者の変更、
銀行口座、またそれに伴う、銀行口座から引き落としされている諸々（カード、携帯使用料、光熱費、電気、ガス、水道etc）、パスポートなどが対象となると思います。
他の方もアドバイスされていましたが、身分証明ができくなりますので
先ずは免許証又は保険証の変更をオススメします
また、お勤めをされている場合は、
国民年金や健康保険については、ご担当の方に一度ご相談されるとよいと思いますよ