親族の着物レンタル代の費用は？

着物を着て欲しいとの依頼があってのことなら、負担してもらってもいいと思います。
が、今回の場合はご自身で支払った方が。借りれる所を聞いただけだとは思いますが、新婦からしたら負担を強要？されたと受取られるかも！！
うっかり甘えてしまったがために、がめつい兄嫁なんて思われては面白くないじゃないですか。
レンタル代はご自身で負担した方が賢明だと思いますよ。

新婦からの頼みではなくて、YTMSさんが着たいから着物を着るんですよね。
私でしたら実費にします。

早く連絡を取りたかったからって、わざわざ旦那の弟嫁に直接連絡取るって下手したら「こっちで費用負担してほしいって事？」って思われても仕方がないかも・・・。
それが元で「お義姉さんの衣装代はあなたが負担して！」とか「お前が返事したんだからお前が負担しろよ！」って揉めたら気の毒です。

お互い嫁入りしてその家の家族になっても、兄嫁・弟嫁って究極の他人です。
丁寧にお断りされたらどうですか？

留袖を着てくれと頼まれていないなら、ご自分でレンタルされたほうが得策だと思います。義妹さんのご両親も式費用明細を見る可能性があるし(こういう場に書いたり他人に言うときは弟の嫁、ではなく義妹や義弟の奥さん、妻と表現したほうがいいですよ。ヤンキーっぽく聞こえたりたいして年齢が変わらないのに目下に見ている感じなので)、「このレンタル代ってなあに？若い2人に負担させるなんて酷いお姉さんね」と誤解されてはYTMSさんも悲しいですよね。

自分で負担するものでしょう･･･？

提携店でのレンタルだと、新郎新婦のドレスや着物代と一緒の支払いになるから気を使って負担すると言ってくれたんじゃないですか？

逆の立場で考えて、あなたの結婚式で義理の兄弟の衣装代まで払いたいですか？

それか着物代を負担してもらって、相場より多く御祝儀を包むかですね。
いくら包むおつもりですか？

自分の式の時は、親族（主に親と義妹）のレンタル衣装代と式場内美容室のヘアセット代は全て、新郎新婦が負担した形になりました。
レンタル衣装を利用した人は皆、「衣装代と着付代いくら？うちが出すから」等と言ってくれて、私も「じゃあ、お言葉に甘えて出してもらうのかな…」と思ったのですが…。
夫が「わざわざ来てもらうんだから、（レンタルを希望したのが向こうだとしても）招待する側が出すのが当たり前！」と言い切りました。レンタルした人たちから「衣装代」としてお金を預かることは、一切断りました。その分、親からの御祝儀・御祝儀以外のお祝いの中には、多めに入っていたのだとは思います。
夫は、自分の親には「レンタル衣装代も、プランのセットの割引の中に入っているから、大丈夫だから」等、適当な嘘をものすごい勢いでつき通して、説得したようです。
私の親・義妹には、「他の人の分も、こっちで払っているから。うちの親・義妹の分だけもらうわけにはいかないので。お金のことは大丈夫、心配しないで」と、他の親族をダシにして、説明しました。

なので、もし、ご主人の弟さん夫婦が本気で「新郎新婦側が払う」といって、新婦側の親族側ではそのような形になっていたら、YTMSさんが「自分で払う」と言ったとしても、相当な勢いでお断りされるのではないでしょうか。

新婦側との兼ね合いや、経済状況等の事情もあるかもしれないので、再度「YTMSさんの方で負担する」と申し出てみて、ご主人・お義母さん・ご主人の弟さんが何と言うか、どんなテンションで対応してくるか次第で、対応を考えてみてもいいのでは。
「お言葉に甘えて＋何かプレゼントor御祝儀と別の形でお祝いのお金や金券を渡す」のほうが丸くおさまりそうなら、それはそれでありなのでは、と思います。（実のお母様には、「御祝儀と別に、これだけ渡してあるから」とも言えますし）

義母に言われたならともかく、自分の趣味で着るのだから自分負担でしょう。本来なら嫁入り道具なわけだし。
それと、弟の嫁に直通電話はダメでしょう
だってまだ結婚式前だからよそのお家のお嬢さんなわけだし
義母さんにお伺いをたててからじゃないと。
それと、義母さんが着物じゃないのに、長男の嫁が留袖なのはおかしいからやめたほうがいいです
あなたの嫁ぎ先はそういう家柄じゃないのだから