祖母への手紙を読みたいけど…。

お気持ちは分かりますが、やはりお母様の気持ちを優先してあげた方がいいと思います。
ご両親にとっても晴れの舞台ですし、その舞台までお姑さんへの比重が大きくなったとお母様が感じた場合、あまりにも可哀想かなと…。
嫁姑関係で苦労されたならなおさらです。
ご自身が嫁ぎ先で同じ目にあったらと想像したら、お母様のお気持ちも分かるのでは？

どうしても感謝の気持ちを伝えたいなら、ご両親への手紙の中に一文挿し込まれてはどうでしょう？
それか中座のエスコートをお願いするのもおすすめです。
会場から出たあと、時間があればツーショット写真も撮ってもらえますし、いいですよ。

ドラマや映画だったら、披露宴で、新婦が仕掛けた何かで、劇的な変化があって、母・祖母の長年のわだかまりも解消される…というような脚本もあるかもしれませんが、現実にはどうでしょう……
以下、答えになっていないのですが、お母様のことが気になったので…長文失礼します。

＞私が大のおばぁちゃんっこなので、それに対して母はヤキモチをやく
↓あずぴさんのお母様が該当するかはわかりませんが…
共働きや病気など何等かの事情で、「自分の手で幼い我が子や家族の世話が十分にできなかった・一緒にいてやれる時間があまりとれなかった…と　悔い」「（仕事をしていたのは仕方なかったけど）子供たちに対して申し訳なかった」という思いを抱えている「お母さん」も、中にはいます。
私の母も、たまにそのような昔の話をして「かわいそうな思いをさせた」と言っています。私は、母は家族のためによく頑張っていた記憶しかないのですが。当時、誰かから「母親が子供をみてやらないのは、子供がかわいそう」と、たくさん言われたのかもしれません。

あずぴさんのお母様も、もしかしたら、ヤキモチというか、寂しさ・申し訳なさ・後悔・お姑さんや周囲との関係の中で味わったふがいなさ？・でも自分の頑張りも認めてほしい…などの気持ちがごちゃ混ぜになって、不機嫌となってあらわれるのかも？

どうぞ、お母様のご苦労も、感謝を伝えるのとともにねぎらって差し上げてくださいね。

中座の時、お祖母様と一緒に、というのは良いアイディアだと思います！

私も止めた方が良いと思います。嫁姑の新たな火種になりますよ。

お母様は小さい我が子を自分で育てたいと思いながら働いていて、ずっと後悔や懺悔の気持ちを抱いているのかもしれません。それでも立派に成長した娘の結婚式で、姑相手に育ててくれてありがとうと言われたら…。母親はかまってくれませんでしたと言うのと同じですよ。お母様の立場は？気持ちは？しかも母方のお祖母様もご存命なんですよね。自分の母親もいるのに姑だけに感謝されるなんて、やりきれないです…。

また、お祖母様は嬉しがって式が終わってからもきっと事あるごとに自慢しますよ？その度にお母様は嫌な思いをすると思いますので、それも考えてみてくださいね。