保険について

まず、健康保険と失業保険は全くの別物ですよ。なので、旦那さんの健康保険の扶養に入ったからというのは関係ありません。職安の方が、出産後とおっしゃったのですよね。それで間違いないと思いますよ。
失業保険というのは、働きたいという意思があり、今すぐにでも働ける状態にあるが、仕事が無いという状況（これを失業と言います）にあると、職安から認められて初めて支給されるものなのです。
会社都合（解雇や倒産等）の方はすぐに支給されます。ただ、自己都合で退職された方は3カ月の待機期間があります。
6月に入籍という事で、名前も変わると思います。その時に、銀行口座や免許証などの氏名変更手続きをされると思いますが、雇用保険の氏名変更も忘れずに行っておいて下さいね。そうしないと、銀行口座の名義と雇用保険の氏名が違うということで失業保険の振り込みが出来ない場合があるそうです。
雇用保険の氏名変更は職安の適用課で行って下さるはずです。雇用保険被保険者証と離職票を持って行って下さいね。
長々と書きましたが、参考になれば幸いです。

私は、失業保険をもらっている間に妊娠しました。
厳密に言えば、中断して、出産後に再度、残りをもらう手続きをしなくちゃいけなかったのですが、窓口の方も｢それは面倒だろう｣と見逃してくれました。
妊娠初期なら、｢働く意思があります｣と言い切ってしまうことも可能ですもんね。

話がそれてしまいましたが、妊娠して退職する方って、すごく多いと思うので、ちゃんともらえると思いますよ。
普通の名義変更などの手続きをきちんと済ませておけば、大丈夫ですよ。。
ただ、出産後いつから申請できるのかは、ご自分で確認して、申請に行ってくださいね。
連絡が来たりはしないでしょうから。。