親の承諾を得るには

社交的じゃないといっても、結婚するのでしたら、これから何度となく一緒に食事したり、もしかしたら旅行に行ったり、交流すると思います。
やはり食事を一緒にするのが一番簡単でいいんじゃないでしょうか？
緊張して、聞かれたことに答えるだけでも、大丈夫だと思いますよ。礼儀作法や、可愛げのある態度に気をつけていれば。。話題をリードしたりする必要はないと思います。

話の中で、彼の家がOKしていて、待っている状態だってことなど、自然に伝えていけば、案外早く話しが進むんじゃないかな。

とにかく、どんな人柄なのか、もっと知りたいだけだと思いますよ。頑張って時間を作ってみてください。

社交的でないにしても食事でも何回かするのはいいと思いますよ。
妹の旦那さんが同じタイプでしたが、口数が少ないながらもその人が
どんな人か分かりますから。

頑張ってください。

結婚するということは
これから家族として付き合っていくということなんですから
社交的じゃなくても
結婚相手の親とは、食事くらい出来る仲になってほしいと思います。
お盆やお正月になると、顔を出すことも多くなると思いますよ。
どうか頑張って下さい♪