夫が義母の誕生日を披露宴でお祝いしたいと提案してきました。

誕生日の友人を同様に祝ったことがあります。プレゼントはその時は渡さず、お皿にハッピーバースデーと入れてもらい、前の方の席でしたので私から直接お皿を渡しました。ですので、プレゼントを差し上げずとも、お皿にハッピーバースデーを描いて祝うだけというのは可能だと思います。

それよりも、問題の核心は、苦手意識のある人を自分たちが主役である披露宴で祝うことが嫌ということですよね。お気持ちもわかりますし、かといって断るのも角が立ちますし、難しい問題ですね。

祝ってあげたほうが良いかどうかは、どちらを選択しても一長一短なので、本人が決めるしかないところがあると思います。私ならば、もしどうしても嫌と決めた場合、共通の友人に協力してもらって、身内贔屓のイベントは身内だけの時の方がよいのではないかといったことをさりげなく話してもらうかもしれません。また、お式にお仕事関係の方を招待しておいでの場合は、その中に誕生日が近い人がいるのならば、その方の誕生日も祝わないと失礼だし、もしかしたら他のゲストの中にもお誕生日が近い人もいるかもしれず、それを見逃して身内だけ祝ってしまうと失礼になると聞いたことがあるから、式とは別にお祝いを送ろうと提案するのもよいかもしれません。

旦那様も義母様も「家族なんだから、何も隠すことないでしょ！」という感覚の方なのかもしれませんね。しかし私も、たとえ実母であっても部屋を勝手に覗かれるのは嫌なので、苦手意識ができるのもわかります。
ところで、こんな例もあります。私の元同僚は妹さんと昔から仲が悪かったそうです。しかし、色直しで中座するとき、エスコート役をあえて妹さんに指名しました。実際には完全に仲直りしたわけではないのですが、ご両親はこの演出に涙を流して感動していたそうです。
このように、あまり気が進まないかもしれませんが、あえて義母さんの誕生日お祝いを親族みんなの前でやることで「親孝行な新郎新婦」「気の利くお嫁さん」として評価を上げることも可能かもしれません。誕生日プレゼントはその場で渡さなくてもいいでしょう。
絶対やだ！という気持ちが強ければ無理にやることでもないと思いますが、ご自身の希望に合わせてくれている旦那様への配慮も忘れないであげてください。

披露宴でゲストを巻き込んで大々的に祝うわけではなく、プレートを乗せるくらいならいいのではないでしょうか？
私も、ウェディングケーキを配るときに結婚式の次の日が誕生日のゲストにバースデーのプレートを乗せてもらいました。
特にプレゼントとかは渡さず、それだけでしたが、喜んでもらえました。
あなたの結婚式ですが、彼の結婚式でもあります。
ゲストの目がお義母さんに行くような大々的な演出はなしだと思いますが、プレートだけならありなのではないでしょうか。
プレゼントを渡すか渡さないかは、彼に任せたら良いと思います。
うちは、両家とも実家が遠方ですが、毎年親の誕生日には夫婦連名でプレゼントを贈っています。
彼の実家が毎年、家族の誕生日をみんなで祝うような関係なら、結婚式とお義母さんの誕生日が近いから、プレートでお祝いの気持ちを伝えたいと言う気持ちは自然なことだと思います。
確かに、お義母さんの行動は常識に欠けるところはあると思いますが、彼と結婚するなら、今後長い付き合いになるので、今後のためにも義実家家族の誕生日は大切にしているスタンスは出しておいた方がいいのではないでしょうか。
ただ、もし今後彼が、例えば全員でハッピーバースデーを歌うとか、みんなの前でプレゼントを渡すとか、何か他のゲストの目に触れるような大々的なことを提案してきたら、そこはお断りしたほうがいいと思います。
他にも誕生日が近い人がいるかもしれないけど、全員の誕生日は把握できてないので、不公平になる、などの理由で断りましょう。

私の姉が、祖母の誕生日の日に式を挙げたので
デザートプレートにHappy Birthdayと書いてありました。
かといって、司会が何か「本日はお誕生日の方がいらっしゃいます！」とかいっていたわけではなく
ただプレートにメッセージが書いてあっただけで
同じテーブルの私達だけが、あーっ！って感じでした。
なので、プレートメッセージだけにすればいいのかな？と思います。

因みに、私は先月家族のみで式を挙げたのですが、
ケーキサーブを私たちからしました。
1人1人のプレートにメッセージをつけて。
自分で家族に配っていくので、言葉でもお礼とか伝えながらケーキサーブできましたよ。

なので1人1人のデザートプレートにメッセージを(ありがとうとか)書いてもらい、義母さんのプレートにはHappy Birthdayと書いてもらってそれを新郎さんがお母様に渡すような感じはどうですか？
新婦さまの家族には新婦さまが配っていけば
知らないうちに誕生日お祝い終わってますよきっと^_^