両家挨拶への流れについて

私の場合は、そのネットで検索された流れて
両家挨拶へ進行しました。

スムーズに進んだので特に問題はなかったです。

たぶん、記念品の贈呈をそのときに行われた方が、スムーズにご両親のお待ちになってる末席にスムーズにたどりつけるものと思います。
手渡すためには、近くまで行く必要がありますし。
別室で行われるそうですが、一応、セレモニーとして披露宴会場で贈呈された後でご両親と記念品についての詳しいお話をされるといいかもしれませんね。

もしどうしても控室で渡すという場合であれば、司会者さんに「本日おこしくださったゲストの皆さまにお礼を申し上げるため、新郎新婦はご両親のもとへ行かれます」と言ってもらうことになるのでしょうね。