新郎家族席に内縁関係の父？

形式的にどういう段階を踏むのが正しいのかわかりませんが、
私も困り果てさんと同様に自分の事だったらイライラが治まらないと思います。

もし父と名乗るのでれば、困り果てさんのご両親とお会いになるべきと思います。
だって、そうじゃないと式で初めてあって、誰？！　となるし、
面識も思い入れもない方に最後の挨拶をして頂いても、
やはり「？」マークが消えません…。

私だったら法律上もうそれだけ長く一緒に居たのなら、
何か夫婦と認められてるはずでしょうが、
気の持ちようなのと、困り果てさんのご両親が会ってない事を考え、
親族の最後の挨拶は控えてもらい、困り果てさんのお父様がなさっては。
と思います。

彼がどっちでもいいかんじなら、そのままお義母さんに伝えてもらいましょう。

内縁の関係は周りにとっては接し方に悩んだり
周りには理解できない部分もあるかと思いますが
内縁関係というのは、彼のお母様と内縁方にしか
分かり得ない事や事情があるのだと思います。

腑に落ちない所もあるかと思いますが
彼がそのような環境の下で育って（育ててもらって）きたのですから
彼のお母様の意見を聞き入れる事も大事かと思います。

両家代表挨拶も、内縁の方の性格や立場を考えると
新婦側のお父様に挨拶してもらった方が良いのはないでしょうか。

彼が内縁の方を良く思っていないなら別ですが
彼も普通に接していて、
今後の生活において自分たちに影響がないのであれば
割り切っておつき合いするのも大事かと思います。

内縁関係だったのは、周囲の人への影響を考えてとか、将来お金のことでもめないように、とか何かの考えがあったのかもしれませんね。
彼も義父と名乗られてもいい、と思うなら、だらしない付き合いだったわけではなく、一応父親的責任は果たせているんじゃないでしょうか。。？

結婚式では義父、としてあげた方が、彼一家が傷つかないような気がします。

だけど、困り果てさんのご両親とは｢義父のようなものです｣と顔合わせする必要はあると思います。
その点クリアしたら、彼がどの程度親しみなり、恩なり感じているか、ってことにあわせてお付き合いしていったら、いいかと思います。。

彼が　新郎義父でいいと思っているのであれば
それなりに今まできちんとされていたのかなと思いますが

やはり困り果てさんのご両親にきちんとお会いしていないのは
私だったとしても気になります。

でも今後の事を考えるともめずに円満に解決したほうがいいかもしれません。

困り果てさんのご両親のご意見も聞いてみたらいかがでしょうか？