遠方からのお車代

正規料金の半額くらいは負担した方が良いので、１万５千円くらいお渡しした方が良いと思いますし、宿泊もゲスト持ちなら２万円お渡しした方がよいです。

お車代は当日で良いでしょう。

金額は最低でも、飛行機、新幹線の片道分程度で
きりの良い額が相応かと思います。
パッケージツアーなら、おおよその金銭を調べて半額程度負担するかでしょうか。

交通費がどの位なのかが分かりませんか、
どうしても金銭的に厳しいようなら、1万円でも仕方ないと思います。

他の回答者様のおっしゃる通り、ご自分で「いくらかかるか」調べて半額お渡ししたほうがいいでしょう。
友人には「当日、交通費を半額差し上げます」と言っておいたほうがいいですよ。
お友達は未婚ですか？なら、あなたが逆に博多に呼ばれる場合もあるわけですから☆