先に入籍を…

入籍をすると今の保険証は名義を変えないと使えなくなると思います。 はっきりしたことはわかりませんが、一度最寄りの社会保険事務所と保険証を発行してもらっている市役所に問い合わせたほうがいいと思いますよ。 もし、ご主人の扶養に入るのであれば会社に書類を提出すれば大丈夫だと思いますので、扶養に入るなら彼の会社の担当の方に聞いてもらうと手続きはできます。

参考になれば幸いです。

入籍するなら、各種変更はそのタイミングでするのだと思います。
必要書類も色々あると思いますので、実際に役所に行く前に、電話で問い合わせてみて
手続きに行くと、スムーズで迷うこともないかと思います。

おめでとうございます。
入籍をするとなると、免許証だけでなく、国民年金、国民保険、あと、任意で加入している保険、銀行口座やカード、パスポートなど全て変更することになります。

ただし、入籍時に一緒に手続きするものもあるので（国民保険ならそのまま役所でなど。）
事前に役所で質問しておいたほうがスムーズに出来ると思います。

保険や年金は大切なので、すぐの手続きが必要ですし、免許証もすぐに書き換えが必要ですよね。

ただし、カードや銀行などは、かならずしも手続きしないからといって、直接困ることはないと思います。（そのまま使うことも出来ますし。）
そちらは時間があるときでいいとおもいますよ。

一緒に暮らさなくても婚姻届を出せば婚姻は婚姻ですから、手続きに違いはないですよ。戸籍上の氏名は変わるし、扶養に入るならその手続きも。

届けには、挙式日か一緒に暮らし始めた日を適当に記入することになりますが問題ないです。