婚約記念品披露ってどんな雰囲気なんでしょうか...

会議室ということはお店の方などはいらっしゃらないのでしょうか。

一通りの流れですと、私の時には、まず白木の台に乗せて記念品を交換。
婚約指輪は彼にはめてもらいました。
そうしたらお互いの両親や兄弟から「見せて～！」「こっち向いて～！」「素敵！」などの声が出てたくさん写真を撮ってもらいましたよ。
指輪を彼にはめてもらうところなども写真に撮ってもらったり。
これはお互いの母親のノリが良かったからかもしれませんが、「ふぅーん…」というような空気には全くなりませんでした。
指輪を見せて写真を撮ったり、ちょっと芸能人になった気分でしたよ(笑)
彼の記念品も仲居さんに促されて私がつけてあげたのですが、同じような流れでした。

その後、彼と私、私の家族と彼、彼の家族と私、全員と記念写真を撮ってもらいました。
お互いの家族が顔を合わせる事はあまりないので、良い記念になりました。
結婚式のスライドにもこの時の写真を入れました。

その後、お互いの父親に承認の欄に記入してもらったのですが、お互いの父親が相手の家族に「よろしくお願いします」というような事を言ってサイン。
サインをしたものを皆に見せて拍手。
というような形で和やかに終わりました。

一通りイベントが終わったらお食事になりました。

私のときには料亭で行ったので座る位置から進行まで仲居さんが仕切ってくれたので、スムーズに進めることができました。
店員さんがいらっしゃらないのであれば、ご兄弟など、どなたか進行などお願いしてもいいかもしれませんね。
ご質問の内容でしたら、形式的に進めていいと思いますよ。

素敵な顔合わせになりますように。

流れとしては悪くないと思いますよ。せっかく集まるのですから、どんな指輪をもらったのかとか知りたいですよね。

あまりかしこまった感じではなくて、自然な感じで希望通りのことをすませばいいのではないですか。
「あまりかしこまりたくはないのですが、せっかくなので見てくださいね。」とか「婚姻届をかいてもらいますね」みたいな感じで。でも婚姻届を書くところをわざわざ人に見せなくてもいいような気もしますが…。

なんとかうまく進むといいですね。